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基于改进Smith预估控制结构的二自由度PID控制

尹成强 高洁 孙群 赵颖

尹成强, 高洁, 孙群, 赵颖. 基于改进Smith预估控制结构的二自由度PID控制. 自动化学报, 2020, 46(6): 1274-1282. doi: 10.16383/j.aas.2018.c170596
引用本文: 尹成强, 高洁, 孙群, 赵颖. 基于改进Smith预估控制结构的二自由度PID控制. 自动化学报, 2020, 46(6): 1274-1282. doi: 10.16383/j.aas.2018.c170596
YIN Cheng-Qiang, GAO Jie, SUN Qun, ZHAO Ying. Two Degree of Freedom PID Control Based on Modified Smith Predictor Control Structure. ACTA AUTOMATICA SINICA, 2020, 46(6): 1274-1282. doi: 10.16383/j.aas.2018.c170596
Citation: YIN Cheng-Qiang, GAO Jie, SUN Qun, ZHAO Ying. Two Degree of Freedom PID Control Based on Modified Smith Predictor Control Structure. ACTA AUTOMATICA SINICA, 2020, 46(6): 1274-1282. doi: 10.16383/j.aas.2018.c170596

基于改进Smith预估控制结构的二自由度PID控制


DOI: 10.16383/j.aas.2018.c170596
详细信息
    作者简介:

    高洁  聊城大学机械与汽车工程学院副教授.主要研究方向为交通控制与交通规划. E-mail: gaojie7983@163.com

    孙群  聊城大学机械与汽车工程学院教授.主要研究方向为机器人技术, 测量与控制. E-mail: sunxiaoqun97@163.com

    赵颖  聊城大学机械与汽车工程学院教授.主要研究方向为机器视觉, 机器人技术. E-mail: zhaoying@lcu.edu.cn

    通讯作者: 尹成强  聊城大学机械与汽车工程学院副教授.主要研究方向为过程控制与计算机控制.本文通信作者.E-mail: shtjycq@163.com
  • 本文责任编委 孙健
  • 基金项目:

    国家自然科学基金 61703192

    山东省重点研发计划 2016GNC112014

    山东省高等学校科技计划 J15LB09

Two Degree of Freedom PID Control Based on Modified Smith Predictor Control Structure

More Information
    Author Bio:

    GAO Jie   Associate professor at the School of Mechanical and Automobile Engineering, Liaocheng University. Her research interest covers traffic control and transportation planning

    SUN Qun   Professor at the School of Mechanical and Automobile Engineering, Liaocheng University. His research interest covers robotics, measurement, and control

    ZHAO Ying    Professor at the School of Mechanical and Automobile Engineering, Liaocheng University. Her research interest covers machine vision and robotics

    Corresponding author: YIN Cheng-Qiang Associate professor at the School of Mechanical and Automobile Engineering, Liaocheng University. His research interest covers process control and computer control. Corresponding author of this paper
  • Recommended by Associate Editor SUN Jian
  • Fund Project:

    National Natural Science Foundation of China 61703192

    Shandong Province Key Technologies Research and Development Program 2016GNC112014

    Science and Technology Funds of Shandong Education Department J15LB09

图(14) / 表(3)
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出版历程
  • 收稿日期:  2017-10-26
  • 录用日期:  2018-03-16
  • 刊出日期:  2020-07-10

基于改进Smith预估控制结构的二自由度PID控制

doi: 10.16383/j.aas.2018.c170596
    基金项目:

    国家自然科学基金 61703192

    山东省重点研发计划 2016GNC112014

    山东省高等学校科技计划 J15LB09

    作者简介:

    高洁  聊城大学机械与汽车工程学院副教授.主要研究方向为交通控制与交通规划. E-mail: gaojie7983@163.com

    孙群  聊城大学机械与汽车工程学院教授.主要研究方向为机器人技术, 测量与控制. E-mail: sunxiaoqun97@163.com

    赵颖  聊城大学机械与汽车工程学院教授.主要研究方向为机器视觉, 机器人技术. E-mail: zhaoying@lcu.edu.cn

    通讯作者: 尹成强  聊城大学机械与汽车工程学院副教授.主要研究方向为过程控制与计算机控制.本文通信作者.E-mail: shtjycq@163.com
  • 本文责任编委 孙健

摘要: 针对工业过程中的二阶不稳定时滞过程, 基于改进史密斯预估控制结构提出了一种简单的两自由度控制方案.设定值跟踪控制器和扰动抑制控制器采用同一设计程序, 并基于内模控制原理提出了控制器解析设计方案.设定值跟踪控制器和抗扰动控制器可分别通过单性能参数独立调节和优化, 每个控制器都具有PID形式, 给出了控制器调整参数的选择范围和扰动抑制闭环保证鲁棒稳定性的条件.仿真实例验证了提出方法对于近期其他方法的优越性.

本文责任编委 孙健

English Abstract

尹成强, 高洁, 孙群, 赵颖. 基于改进Smith预估控制结构的二自由度PID控制. 自动化学报, 2020, 46(6): 1274-1282. doi: 10.16383/j.aas.2018.c170596
引用本文: 尹成强, 高洁, 孙群, 赵颖. 基于改进Smith预估控制结构的二自由度PID控制. 自动化学报, 2020, 46(6): 1274-1282. doi: 10.16383/j.aas.2018.c170596
YIN Cheng-Qiang, GAO Jie, SUN Qun, ZHAO Ying. Two Degree of Freedom PID Control Based on Modified Smith Predictor Control Structure. ACTA AUTOMATICA SINICA, 2020, 46(6): 1274-1282. doi: 10.16383/j.aas.2018.c170596
Citation: YIN Cheng-Qiang, GAO Jie, SUN Qun, ZHAO Ying. Two Degree of Freedom PID Control Based on Modified Smith Predictor Control Structure. ACTA AUTOMATICA SINICA, 2020, 46(6): 1274-1282. doi: 10.16383/j.aas.2018.c170596
  • 实际生产中, 大多数的工业过程都是稳定或临界稳定的, 但同时也存在着少数的不稳定过程, 它们难以控制, 尤其在系统存在明显时滞情况下.其主要原因在于不稳定极点容易导致很大的超调和较长的过渡时间, 并且系统输入输出的平衡状态很容易被外界干扰破坏[1].

    针对不稳定时滞过程, 专家学者进行了大量的研究, 也取得了一系列的研究成果.其中, 基于单位反馈基础上提出的改进PID控制方法不断被提出.最近, 文献针对不稳定时滞对象采用直接合成法设计了PID控制器, 并基于灵敏度函数给出了参数调整方法[2].文献[3]针对二阶不稳定时滞对象给出了简单的PID调整方法, 采用了三个尺度参数计算传统PID控制器的比例、微分、积分三个参数. Zhang等[4-5]针对二阶和多阶不稳定时滞对象, 基于单位反馈控制结构和镜像方法设计的控制器, 系统抗扰动性能和鲁棒稳定性能有了明显提高.基于内模控制的PID控制不仅保持了传统PID控制特点, 而且具有内模控制的所有优点, 自提出以来就得到学者专家的青睐.针对不稳定时滞对象, 国内外众多专家学者在这个领域做了很多研究, 也有很多方法已应用到实际生产中, 取得较好的控制效果[6-11].随着智能控制技术的发展和先进算法研究的深入, 多种智能算法被应用于PID控制器参数整定[12-17], 与普通整定方法比, 其在设定值精确、快速跟踪方面性能更优, 但对控制器的处理能力要求更高.为确保控制系统同时具有良好的设定值跟踪性能和抗扰动性能, 针对不稳定时滞对象的二自由度控制方案相继被提出:利用Smith预估控制和内模控制的优势, 对其做结构上的改进, 提出了两自由度的Smith控制[18-20]和两自由度的内模控制[21-24], 也获得了比较满意的控制效果.另外, 针对不稳定时滞对象, 文献[25]提出一种基于并行控制结构和直接合成法的控制方案.文献[26-27]采用简单串级控制结构设计了不稳定时滞对象的控制方案, 其中内环用于稳定被控对象, 外环用于提高系统性能.针对不稳定时滞对象提出的这些二自由度控制方案都取得了不错的控制效果.

    目前在二自由度控制系统设计过程中, 大都需要针对不同控制对象设计不同的设定值跟踪控制器和扰动抑制控制器, 并且通常设定值跟踪控制器和扰动抑制控制器的设计程序不同, 从而增加了控制器设计程序的任务量.为此本文在改进Smith预估控制基础上提出了一种简单二自由度控制方案, 基于内模原理形成了PID控制器整定方法, 此整定方法可用于三类二阶不稳定时滞对象的设定值控制器和扰动抑制控制器的设计.通过仿真研究可以看出, 提出的控制方案不仅可以大大减少控制器设计过程的复杂程度, 而且系统的设定值跟踪性能和抗扰动性能都优于近期文献中的控制效果.设计的控制器容易在过程控制的分布式控制系统(Distributed control system, DCS)或可编程序逻辑控制器(Programmable logic controller, PLC)中实现, 便于工程操作.

    不失一般性, 本文针对工业过程中典型的3类二阶不稳定时滞对象, 研究控制器的设计方法, 它们的传递函数分别为

    $$ P_1(s)=\frac{k{\rm e}^{-\theta s}}{s(Ts-1)} $$ (1)
    $$ P_2(s)=\frac{k{\rm e}^{-\theta s}}{(T_1 s-1)(T_2 s+1)} $$ (2)
    $$ P_3(s)=\frac{k{\rm e}^{-\theta s}}{(T_1 s-1)(T_2 s-1)} $$ (3)

    针对以上3类不稳定时滞对象, 提出的二自由度控制结构如图 1所示, 其中$P_m (s)$为被控对象$P(s)$的数学模型, $K_1 (s)$为设定值跟踪控制器, $K_2 (s)$为扰动抑制控制器. $d_i (s)$和$d_o (s)$分别为混入被控对象的输入干扰和输出干扰.在标称情况下, 即对象模型和实际对象完全匹配时, 由图 1可以得到设定值跟踪响应的传递函数

    $$ \begin{align} H_r(s)=\frac{y(s)}{r(s)}=\frac{P(s)K_1 (s)}{1+P(s)K_1(s)} \end{align} $$ (4)

    图  1  改进Smith控制结构

    Figure 1.  Modified Smith predictor structure

    在标称情况下, 从输入干扰$d_i$、输出干扰$d_0 $到过程输出$y$的传递函数分别为

    $$ H_{d_i}(s)=\frac{y(s)}{d_i(s)}=\frac{P(s)}{1+K_2(s)P(s)} $$ (5)
    $$ H_{d_o}(s)=\frac{y(s)}{d_o(s)}=\frac{1}{1+K_2(s)P(s)} $$ (6)

    可以看出, 该控制结构的设定值跟踪响应和负载扰动响应完全解耦, 可以分别通过调节$K_1 (s)$和$K_2 (s)$达到需要的控制效果.

    同时也可以得到被控制过程负载干扰抑制闭环的补灵敏度函数

    $$ \begin{align} T(s)=\frac{K_2(s)P(s)}{1+K_2(s)P(s)} \end{align} $$ (7)
    • 由式(4)和式(7)可以看到, 设定值跟踪响应函数和补灵敏度函数具有相同的形式, 其中的$K_1 (s)$, $K_2 (s)$分别完成系统设定值跟踪和抗扰动功能.为减少设计过程的复杂度, 对设定值跟踪控制器和扰动抑制控制器采用相同的设计方法.内模控制因其设计思路简单, 控制性能优越, 便于实施等优点, 在工业过程控制中已得到广泛应用.在此采用基于内模控制的单位负反馈方法设计设定值跟踪控制器$K_1 (s)$和扰动抑制控制器$K_2(s)$.以$P_3 (s)$为基本研究对象, 首先给出设定值跟踪控制器的详细设计方法.

      图 2图 3分别为内模控制结构图和基于内模控制器的单位反馈控制结构图.

      图  2  内模控制结构

      Figure 2.  IMC control structure

      图  3  单位反馈控制结构

      Figure 3.  Feedback control structure

      图 2中, $C(s)$为标准内模控制器, $K_1 (s)$为基于内模原理的控制器, 可视为提出的改进Smith控制结构中的设定值跟踪控制器或扰动抑制控制器.根据内模控制器设计方法[28], 过程模型$P_m (s)$分为两部分, $P_m(s)=P_{m-}(s)P_{m+}(s)$, $P_{m-}(s)$和$P_{m+} (s)$分别为$P_m(s)$的最小相位部分和非最小相位部分.对于控制对象$P_3 (s)$, 则$P_{m-}(s)=k/(T_1 s$ - $1)(T_2 s-1)$, $P_{m+}(s)={\rm e}^{-\theta s}$.标准内模控制器设计为

      $$ \begin{align} C(s)=P_{m-}^-(s)f(s) \end{align} $$ (8)

      其中, $f(s)$为内模控制器滤波器.根据内模控制系统内稳定的充要条件, $(1-P(s)C(s))P(s)$, $C(s)$, $P(s)C(s)$必须是稳定正则的实有理传递函数.因此为保证闭环系统内部稳定, 设计滤波器形式为[29]

      $$ \begin{align} f(s)=\frac{b_2 s^2+b_1 s+1}{(\lambda _1 s+1)^4} \end{align} $$ (9)

      其中, $\lambda _1 $为设定值跟踪控制器的可调整参数, $b_1 $和$b_2 $的值分别为

      $$ \begin{align*} &b_1 =\frac{T_2^2(\frac{\lambda _1 }{T_2 }+1)^4{\rm e}^\frac{\theta}{T_2 }-T_1^2 (\frac{\lambda _1 }{T_1 }+1)^4{\rm e}^\frac{\theta}{T_1 }+T_1^2 -T_2^2 }{T_2 -T_1 } \\[2mm] &b_2 =T_2^2 \left[{\left(\frac{\lambda _1 }{T_2 }+1\right)^4{\rm e}^\frac{\theta}{ T_2 }-1} \right]-b_1 T_2 \end{align*} $$

      根据基于内模控制原理的单位反馈控制器设计方法, 可由下式得到控制器$K_1 (s)$

      $$ \begin{align} \frac{K_1(s)P(s)}{1+K_1(s)P(s)}=P(s)C(s) \end{align} $$ (10)

      联合式(7)~(10), 可得到$K_1(s)$的具体形式

      $$ \begin{align} K_1(s)=\frac{(T_1 s-1)(T_2 s-1)(b_2 s^2+b_1 s+1)}{k[(\lambda _1 s+1)^4-{\rm e}^{-\theta s}(b_2 s^2+b_1 s+1)]} \end{align} $$ (11)

      将上式逼近为PID形式

      $$ \begin{align} K_1(s)=k_{k1}\left(1+\frac{1}{\tau _{i1} s}+\tau_{d1} s\right)\frac{1+\delta _1 s}{1+\beta_1 s} \end{align} $$ (12)

      其中, $k_{k1} =b_1 /(k(4\lambda _1 +\theta -b_1))$, $\tau _{i1} =b_1 $, $\tau _{d1} =b_2 /$ $b_1 $, $\beta _1 =\frac{b_1 \theta /2-b_2 +2\lambda _1 \theta +6\lambda _1^2 }{\theta +4\lambda _1 -b_1 }+T_1 +T_2 $, $\delta _1 =0.5\theta $.

      由式(4)和式(10)可以得到设定值跟踪响应传递函数的具体形式

      $$ \begin{align} H_r(s)=\frac{b_2 s^2+b_1 s+1}{(\lambda _1 s+1)^4}{\rm e}^{-\theta s} \end{align} $$ (13)

      由上式可以看出, 系统的设定值跟踪响应存在超调, 响应过程中分子的$b_2 s^2+b_1 s+1$将导致不期望的超调.为此设计滤波器

      $$ \begin{align} F(s)=\frac{1}{b_2 s^2+b_1 s+1} \end{align} $$ (14)

      按照与$K_1(s)$同样的设计程序, 可以得到扰动抑制控制器$K_2(s)$

      $$ \begin{align} K_2(s)=k_{k2}\left(1+\frac{1}{\tau_{i2} s}+\tau_{d2} s\right)\frac{1+\delta_2 s}{1+\beta _2 s} \end{align} $$ (15)

      其中, $k_{k2} =b_1 /k(4\lambda _2 +\theta -b_1)$, $\tau _{i2} =b_1 $, $\tau _{d2} =b_2 /b_1 $, $\beta _2$ $ =\frac{b_1 \theta /2-b_2 +2\lambda _2 \theta +6\lambda _2^2 }{\theta +4\lambda _2 -b_1 }+T_1 +T_2 $, $\delta _2 =0.5\theta $.

      上述设计过程是针对控制对象$P_3(s)$给出的控制器设计方法.对于对象$P_1(s)$和$P_2(s)$, 只需经过简单变换将其转换成与$P_3 (s)$一致的形式即可.对象$P_1(s)$可转换为$P_1(s)=k'{\rm e}^{-\theta s}/((T's-1)(Ts-1))$, 其中$T'$的选取满足$T'\ge100k$即可, 同时也可得到相应的$k'=T'k$; 对于控制对象$P_2(s)$可转换为$P_2(s)$ $=-k{\rm e}^{-\theta s}/((T_1 s-1)(-T_2 s-1))$.控制器$K_1(s)$, 其性能整定参数为$\lambda_1 $, 调小$\lambda _1 $可使给定值响应加快, 但是所需控制器的输出能量要增大.对于控制器$K_2 (s)$, 其性能整定参数为$\lambda_2 $, 减少$\lambda_2 $可提高系统的抗负载扰动能力, 减少因负载扰动造成的输出误差, 但同时会降低系统的鲁棒稳定性, 所以$\lambda _2 $的选取应在满足控制闭环的抗扰动性和鲁棒稳定性之间折衷.经过大量仿真试验, $\lambda _1 $可取值$0.5\theta$ - $1.5\theta $, $\lambda _2 $可取值$0.75\theta-1.6\theta $, 用$0.1\beta _2 $代替$\beta _2 $会提高系统的抗扰动性能; 当$\lambda _1 < \theta $时, 用$0.1\beta_1 $代替$\beta_1 $会提高系统的跟踪性能.

    • 根据系统内部稳定性判别方法[30], 如果系统含$n$个对象, 其传递函数分别为$g_i (s)$, $i=1, 2, \cdots, n$, 各函数的特征多项式为$p_i(s)$, $i=1, 2, \cdots, n$, 定义

      $$ J(s)=\Delta \prod\limits_{i=1}^n{p_i(s)} $$ (16)
      $$ \Delta =1-\sum\limits_i{L_{1i}} +\sum\limits_j{L_{2j}} -\sum\limits_k{L_{3k} } +\cdots $$ (17)

      其中, $L_{1i} $是回路增益, $L_{2j} $是两个不接触回路的增益乘积, $L_{3k} $是三个不接触回路增益的乘积, 推而广之.由图 1可知设计的控制系统包含4个子系统: $p_1(s)=K_1(s)$, $p_2(s)=P(s)$, $p_3(s)=K_2(s)$, $p_4(s)$ $=$ $P_m(s)$; 以及两个回路: $L_1:-K_1(s)P_m(s)$, $L_2:$ $-K_2(s)P(s)$. $L_1$和$L_2$互不接触, 得到

      $$ \begin{align} \Delta =&\ 1-L_1 -L_2 +L_1 L_2= \notag\\ &\ [1+K_1(s)P_m(s)][1+K_2(s)P(s)] \end{align} $$ (18)

      令$K_1(s)=a(s)/b(s)$, $P(s)=d(s)/c(s)$, $K_2(s)$ $=e(s)/f(s)$, $P_m(s)=\hat{d}(s)/\hat{c}(s)$, 代入式(16), 得到

      $$ \begin{align*} J(s)=&\ \Delta(s)\prod\limits_{i=1}^6{p_i(s)}=\\ &\ [1+K_1(s)P_m(s)][1+K_2(s)P(s)]\, \times\\ &\ b(s)\times c(s)\times f(s)\times \hat{c}(s)= \\ &\ [b(s)\hat{c}(s)+a(s)\hat{d}(s)][f(s)c(s)+e(s)d(s)] \end{align*} $$

      系统保持内部稳定的充要条件是$J(s)$的所有根都位于左半平面.由上式可以看出, 多项式$b(s)\hat{c}(s)$ $+$ $a(s)\hat{d}(s)$反映由控制器$K_1(s)$决定$P_m (s)$的稳定性; 多项式$f(s)c(s)+e(s)d(s)$反映由控制器$K_2 (s)$决定$P(s)$的稳定性.在标称情况下, $P(s)$ $=$ $P_m(s)$, 并且控制器$K_1 (s)$与$K_2 (s)$的设计程序相同, 所以根据式(12)和式(15), 以及三类二阶不稳定时滞对象传递函数(1)~(3)可以计算得到$b(s)\hat {c}(s)+$ $a(s)\hat {d}(s)$和$f(s)c(s)+e(s)d(s)$的根均位于左半平面, 能够保证系统内稳定性, 所以整个控制系统是稳定的.

    • 根据小增益定理, 控制系统保证鲁棒稳定性的充要条件是$\left\|{T(s)l_m} \right\|_\infty < 1$, 其中$T(s)$为负载干扰抑制闭环的补灵敏度函数, $l_m (s)$表示实际被控过程的乘性不确定性界[31]

      $$ \begin{align} l_m(s)=\frac{P(s)-P_m(s)}{P_m(s)} \end{align} $$ (19)

      对于控制对象$P_3(s)$, 如果模型的4个参数皆存在不确定性, 即

      $$ \begin{align} P'(s)=\frac{(k+\Delta k){\rm e}^{-(\theta +\Delta \theta )s}}{(T_1 s-1)(T_2 s-1)(\Delta Ts+1)} \end{align} $$ (20)

      可以得到过程的乘性不确定性界

      $$ l_m(s)=\left|{\frac{P'(s)-P(s)}{P(s)}} \right|=\frac{(1+\frac{\Delta k}{k}){\rm e}^{-\Delta \theta s}}{(\Delta Ts+1)}-1 $$

      进而可得到调整参数时的约束条件

      $$ \begin{align} \left\|{\frac{b_2 s^2+b_1 s+1}{(\lambda _2 s+1)^4}} \right\|_\infty <\frac{1}{\left\|{\frac{(1+\frac{\Delta k}{k}){\rm e}^{-\Delta \theta s}}{(\Delta Ts+1)}-1} \right\|_\infty} \end{align} $$ (21)

      如果只有时滞存在不确定性时, 则控制器调整参数的约束条件可表示为

      $$ \begin{align} \left\|{\frac{b_2 s^2+b_1 s+1}{(\lambda _2 s+1)^4}} \right\|_\infty <\frac{1}{\left|{{\rm e}^{-{\rm j}\Delta \theta w}-1} \right|} \end{align} $$ (22)

      如果只有增益存在不确定性时, 控制器调整参数的约束条件为

      $$ \begin{align} \left\|{\frac{b_2 s^2+b_1 s+1}{(\lambda _2 s+1)^4}} \right\|_\infty <\frac{k}{\left|{\Delta k}\right|} \end{align} $$ (23)

      另外, 根据鲁棒控制理论, 整定参数$\lambda _2 $只能在满足该控制闭环的鲁棒稳定性和标称性能之间折衷, 还必须满足约束条件

      $$ \begin{align} \left|{l_m(s)T(s)} \right|+\left|{W(s)(1-T(s))}\right|<1 \end{align} $$ (24)

      其中, $W(s)$为闭环灵敏度函数权重.对于控制器$K_2(s)$, $\lambda _2 $增大时系统鲁棒稳定性增强, 但系统扰动抑制能力被削弱; 相反, 减小$\lambda _2 $可增强系统的扰动抑制能力, 但会降低系统的鲁棒稳定性.

    • 针对三类二阶不稳定时滞对象, 本文方法与国内外最新研究成果进行了仿真比较.为便于量化比较, 本文引入绝对误差积分(IAE)、误差绝对值与时间乘积积分(ITAE)、系统输出峰值(PV)和输出波动总和(TV)四个性能指标, 其中

      $$ \begin{align*} &IAE=\int_0^\infty{\vert e(t)\vert {\rm d}t} \\& ITAE=\int_0^\infty{t\vert e(t)\vert {\rm d}t} \\& TV=\sum\limits_{n=0}^N{\vert y_{n+1} -y_n \vert} \end{align*} $$

      例1.  考察Kumar等[32]和Ghousiya等[33]研究的工业过程${\rm e}^{-0.2s}/s(s-1)$.应用本文的设计方法, 首先将传递函数近似为$P_m (s)=100{\rm e}^{-0.2s}/(100s-1)(s-1)$, 取控制参数$\lambda _1 =\lambda _2 =0.3$, 得到控制器$K_1(s)$, $K_2(s)$和$F(s)$分别为

      $$ \begin{align*} K_1(s)=&\ 4.8356\left(1+\frac{1}{1.3971s}+0.7811s\right)\times\\&\ \frac{0.1s+1}{0.0632s+1} \\[2mm] K_2(s)=&\ 4.8356\left(1+\frac{1}{1.3971s}+0.7811s\right)\times\\&\ \frac{0.1s+1}{0.00632s+1} \\[2mm] F(s)=&\ \frac{1}{1.0913s^2+1.3971s+1} \end{align*} $$

      Kumar等[32]和Ghousiya等[33]提出的控制方案具有较好的控制效果, 在其仿真验证中也显示优于其他控制方法, 在此将本文方法和它们进行比较.分别在设定点输入处加上单位阶跃信号, $t=10$ s时在对象输入端负载干扰处加上反向单位阶跃信号, 标称系统输出如图 4所示, 控制响应如图 5所示.

      图  4  例1标称系统阶跃响应

      Figure 4.  Step responses for Example 1 (normal)

      图  5  例1标称系统控制响应

      Figure 5.  Control signals for Example 1 (normal)

      此外, 当假设实际对象的延迟时间和增益常数都增加20 %时, 得到的摄动系统的输出响应如图 6所示, 控制输出如图 7所示.由图 4~6可以看出, 本文方法的标称系统响应和扰动响应都优于其他两种方法.特别地, 当系统存在不确定性时, 控制器响应平滑, 没有大的波动现象.标称系统响应和扰动系统响应下的三种方法的性能指标见表 1, 由表 1可以

      图  6  例1扰动系统阶跃响应

      Figure 6.  Step responses for Example 1 (perturbed)

      图  7  例1扰动系统控制响应

      Figure 7.  Control signals for Example 1 (perturbed)

      表 1  例1的性能指标

      Table 1.  Performance measures for Example 1

      方法${IAE}$${ITAE}$${OV}$$PV$
      标称响应
      本文方法1.402.581.001.0091
      Kumar方法[32]1.413.131.051.1042
      Ghousiya方法[33]1.523.141.011.0226
      扰动响应
      本文方法1.757.751.021.4168
      Kumar方法[32]3.0131.091.051.9253
      Ghousiya方法[33]2.9027.291.086.2813

      看出本文方法的各项目性能指标都优于Kumar等[32]和Ghousiya等[33]的方法.

      例2.  考察二阶不稳定时滞对象

      $$\begin{align*} P_m(s)=\frac{{\rm e}^{-0.939s}}{(5s-1)(2.07s+1)} \end{align*} $$

      应用本文的设计方法, 首先将传递函数近似为$P_m (s)$ $=-{\rm e}^{-0.939s}/((5s-1)(-2.07s-1))$, 分别取控制参数$\lambda _1$ $=$ $0.65$, $\lambda _2 =0.85$, 得到控制器$K_1(s)$, $K_2(s)$和$F(s)$

      $$ \begin{align*} K_1 (s)=&\ 9.7971\left(1+\frac{1}{3.9413s}+1.1358s\right)\times\\&\ \frac{0.4685s+1}{0.0122s+1} \\[2mm] K_2(s)=&\ 7.3841\left(1+\frac{1}{5.0187s}+1.217s\right)\times\\&\ \frac{0.4685s+1}{0.02s+1} \\[2mm] F(s)=&\ \frac{1}{4.4764s^2+3.9413s+1} \end{align*} $$

      许多文献都曾针对该对象进行了研究, 现选取近期提出的Ajmerin等[25]方法和Wang等[28]方法与本文方法进行比较.在$t=1$ s时于设定点输入处加上单位阶跃信号, $t=30$ s时在对象输入端负载干扰处加上反向阶跃信号, 标称系统输出如图 8所示, 可以看出, 本文方法略优于其他两种方法.

      图  8  例2标称系统阶跃响应

      Figure 8.  Step responses for Example 2 (normal)

      为验证系统的鲁棒性, 将实际对象的延迟时间和增益常数都增加10 %的不确定性, 同时两个时间常数都减少10 %时, 得到的摄动系统的输出响应如图 9所示, 三种方法的性能指标如表 2.由仿真曲线和性能指标可以看出, 在系统模型失配时, 本文方法仍能保持良好的系统性能.

      图  9  例2扰动系统阶跃响应

      Figure 9.  Step responses for Example 2 (perturbed)

      表 2  例2的性能指标

      Table 2.  Performance measures for Example 2

      方法${IAE}$${ITAE}$${OV}$$PV$
      标称响应
      本文方法3.5710.941.001.0144
      Ajmerin方法[25]3.7112.151.001.0083
      Wang方法[28]3.7512.511.001.0052
      扰动响应
      本文方法4.3736.801.011.590
      Ajmerin方法[25]4.6741.291.011.535
      Wang方法[28]4.7044.701.001.381

      例3.  考察Vanavil等[34]研究的二阶不稳定时滞对象

      $$ \begin{align*} P_m(s)=\frac{2{\rm e}^{-0.3s}}{(3s-1)(s-1)} \end{align*} $$

      应用本文的设计方法, 控制参数取为$\lambda _1 =0.35$, $\lambda _2 $ $=$ $0.3$, 根据式(12), (14)和(15)得到设定值跟踪控制器、扰动抑制控制器和滤波器为

      $$ \begin{align*} K_1(s)=&\ 3.5671\left(1+\frac{1}{1.491s}+1.3364s\right)\times\\&\ \frac{0.15s+1}{0.0577s+1} \\[2mm] K_2(s)=&\ 4.6264\left(1+\frac{1}{1.3537s}+1.1093s\right)\times\\&\ \frac{0.15s+1}{0.0045s+1} \\[2mm] F(s)=&\ \frac{1}{1.9926s^2+1.491s+1} \end{align*} $$

      同时引入最近Ajmerin等[25]的方法进行比较.在$t=1$ s时于设定点输入处加上单位阶跃信号, $t$ $=$ $20$ s时在对象输入端负载干扰处加上反向的阶跃信号, 标称系统输出、控制响应分别如图 10图 11所示.可以看出, 本文方法略优于其他两种方法.为验证系统的鲁棒性, 将实际对象的延迟时间增加10 %, 增益常数增加40 %, 时间常数$T_1 $增加33 %的摄动即$P(s)=2.8{\rm e}^{-0.33s}/(4s-1)(s-1)$时, 得到的摄动系统的输出响应如图 12所示, 控制响应如图 13所示.三种方法的性能指标见表 3.由性能指标及图 10图 12可以看出, 本文方法不仅提高了系统的抗干扰能力而且能够使系统具有很强的鲁棒稳定性, 同时图 11图 13也显示了本文方法控制器输出的平稳程度.图 14为例1~3中本文方法的灵敏度函数幅值曲线.

      图  10  例3标称系统阶跃响应

      Figure 10.  Step responses for Example 3 (normal)

      图  11  例3标称系统控制响应

      Figure 11.  Control signals for Example 3 (normal)

      图  12  例3扰动系统阶跃响应

      Figure 12.  Step responses for Example 3 (perturbed)

      图  13  例3扰动系统控制响应

      Figure 13.  Control signals for Example 3 (perturbed)

      表 3  例3的性能指标

      Table 3.  Performance measures for Example 3

      方法${IAE}$${ITAE}$${OV}$$PV$
      标称响应
      本文方法1.713.471.001.0121
      Ajmerin方法[25]1.232.131.011.0230
      Vanavil方法[34]1.753.881.001.0034
      扰动响应
      本文方法2.0411.821.021.4628
      Ajmerin方法[25]1.7013.361.041.5220
      Vanavil方法[34]2.5124.771.021.6185

      图  14  例1~3本文方法灵敏度函数幅值

      Figure 14.  Magnitude plots of the proposed sensitivity function for Examples 1~3

    • 针对三类二阶不稳定时滞对象提出了一种二自由度改进Smith预估控制方案, 基于内模控制原理提出的PID控制器解析设计方案不仅应用于设定值跟踪控制器设计而且也用于扰动抑制控制器的设计, 并且该控制器解析设计方案可适用于三类二阶不稳定时滞对象, 可在很大程度上减少控制器设计复杂性.系统标称设定值响应和扰动抑制响应完全解耦, 可通过单参数独立调整节和优化.仿真结果和性能指标表明本文提出的控制方案不仅能提高控制系统的设定值跟踪性能, 而且能够大大提高系统的抗干扰能力和鲁棒稳定性.

参考文献 (34)

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