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针对输入时滞的桥式起重机鲁棒控制

何博 方勇纯 卢彪

何博, 方勇纯, 卢彪. 针对输入时滞的桥式起重机鲁棒控制. 自动化学报, 2019, 45(6): 1065-1073. doi: 10.16383/j.aas.2018.c170506
引用本文: 何博, 方勇纯, 卢彪. 针对输入时滞的桥式起重机鲁棒控制. 自动化学报, 2019, 45(6): 1065-1073. doi: 10.16383/j.aas.2018.c170506
HE Bo, FANG Yong-Chun, LU Biao. Robust Control for an Overhead Crane With Input Delay. ACTA AUTOMATICA SINICA, 2019, 45(6): 1065-1073. doi: 10.16383/j.aas.2018.c170506
Citation: HE Bo, FANG Yong-Chun, LU Biao. Robust Control for an Overhead Crane With Input Delay. ACTA AUTOMATICA SINICA, 2019, 45(6): 1065-1073. doi: 10.16383/j.aas.2018.c170506

针对输入时滞的桥式起重机鲁棒控制


DOI: 10.16383/j.aas.2018.c170506
详细信息
    作者简介:

    何博  南开大学机器人与信息自动化研究所博士研究生.2012年获天津大学电气工程及自动化学院学士学位.主要研究方向为桥式起重机的控制算法研究.E-mail:hebowf1990@126.com

    卢彪  南开大学机器人与信息自动化研究所博士研究生.主要研究方向为各类吊车的控制算法研究.E-mail:lub@nankai.edu.cn

    通讯作者: 方勇纯  南开大学机器人与信息自动化研究所教授.2002年获得美国克莱姆森大学博士学位.主要研究方向为显智能机器人与非线性系统控制.本文通信作者.E-mail:fangyc@nankai.edu.cn
  • 基金项目:

    智能机器人国家重点研发计划 2018YFB1309000

Robust Control for an Overhead Crane With Input Delay

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    Author Bio:

    Ph. D. candidate at the Institute of Robotics and Automatic Information System, Nankai University. He received his bachelor degree from College of Electrical Engineering and Automation, Tianjin University in 2012. His research interest covers the control strategies for overhead cranes

    Ph. D. candidate at the Institute of Robotics and Automatic Information System, Nankai University. His main research interest covers the control strategies for different kinds of cranes

    Corresponding author: FANG Yong-Chun Professor at Institute of Robotics and Automatic Information System, Nankai University. He received his Ph. D. degree in electrical engineering from Clemson University, Clemson, SC, in 2002. His research interest covers intelligent robot and nonlinear system control. Corresponding author of this paper
  • Fund Project:

    National Key R & D Program of China 2018YFB1309000

图(8)
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出版历程
  • 收稿日期:  2017-09-10
  • 录用日期:  2018-01-01
  • 刊出日期:  2019-06-20

针对输入时滞的桥式起重机鲁棒控制

doi: 10.16383/j.aas.2018.c170506
    作者简介:

    何博  南开大学机器人与信息自动化研究所博士研究生.2012年获天津大学电气工程及自动化学院学士学位.主要研究方向为桥式起重机的控制算法研究.E-mail:hebowf1990@126.com

    卢彪  南开大学机器人与信息自动化研究所博士研究生.主要研究方向为各类吊车的控制算法研究.E-mail:lub@nankai.edu.cn

    通讯作者: 方勇纯  南开大学机器人与信息自动化研究所教授.2002年获得美国克莱姆森大学博士学位.主要研究方向为显智能机器人与非线性系统控制.本文通信作者.E-mail:fangyc@nankai.edu.cn
基金项目:

智能机器人国家重点研发计划 2018YFB1309000

摘要: 针对工业桥式起重机输入信号存在时滞的问题,本文设计了一种鲁棒跟踪控制器.具体而言,本文通过分析欠驱动桥式起重机的特性,引入辅助系统,将时滞模型等效为不存在时滞的模型.在此基础上,考虑系统参数的不确定性,设计了一种鲁棒跟踪控制器.本文使用基于Lyapunov理论的稳定性分析及证明方法,通过建立Lyapunov-Krasovskii(LK)方程证明了位置跟踪误差以及摆角可以在有限时间内收敛到一个界内,且界的大小与控制增益负相关.完成控制器设计后,将其与工业上常用的比例-积分-微分(Proportion-integration-differentiation,PID)控制方法进行比较.仿真及实验结果表明,本文所设计的控制器优于PID控制器,具有良好的控制性能.

本文责任编委 李鸿一

English Abstract

  • 桥式起重机是一种应用广泛的起重运输设备, 在港口、工厂等工作场景的运输过程中起到了至关重要的作用.时滞是一种在工程实际中经常出现的现象, 网络传输的延时、执行机构较慢的反应速度、传感器较长的采样时间等均会造成数据传输的延迟.若在设计控制器过程中未考虑时滞问题, 会造成控制性能变差, 系统不稳定甚至混沌现象.工业桥式起重机的信号传输距离远, 大型电机响应速度慢, 时滞现象更为明显.因此, 研究时滞存在下的桥式起重机控制问题, 具有很重要的工程实际意义.

    针对时滞现象, 文献[1-2]详细叙述了时滞系统在时域以及频域内的稳定性分析证明.很多研究人员对于线性系统[3-6]以及非线性系统[7-14]的输入时滞问题做了相关研究.文献[7]针对时变的输入延时, 通过引入一个正定的稀疏矩阵, 并设计了一种新颖的Lyapunov-Krasovskii方程, 证明了系统的稳定性, 但该方法需精确的系统模型, 未考虑模型的不确定性.在文献[9]中, 通过设计自适应反馈控制器, 实现了闭环系统平衡点的全局收敛.文献[11]采用基于预测的控制器, 提出了一种跟踪控制策略, 并利用Lyapunov-Krasovskii方程证明了系统半全局一致有界.针对输入时滞以及控制器饱和问题, 文献[12]设计了一种带有输入饱和的鲁棒控制器, 并证明了系统能在有限时间内收敛到一个界内.除此之外, 一些智能算法也被用于处理输入时滞问题[13-14].但是上述工作均针对全驱动控制系统, 截至目前, 针对欠驱动系统的输入时滞问题研究依然较少.

    桥式起重机是一类典型的欠驱动控制系统.很多国内外研究机构对桥式起重机系统做了大量的研究[15-19].工业桥式起重机出现时滞现象的主要原因是输入信号以及反馈信息在传输环节的滞后, 以及驱动机构或传动机构反应时间较慢.一些课题组对起重机时滞问题展开了相关研究.例如, 在文献[20]中, 针对港口起重机, 对摆角信息的滞后做了相关研究, 通过基于数学模型的观测器以及摄像机观测到的带有滞后的摆角信息进行融合, 实现了对摆角信息的测量及修正.文献[21]考虑到起重机系统状态信息的滞后, 将系统模型线性化, 并将滞后环节加入模型, 设计控制器实现了对滞后环节的补偿. Nayfeh等对双摆模型进行分析, 并设计了针对状态反馈信息时滞的控制策略[22].文献[23]针对输入信号的时滞以及饱和问题, 对起重机系统建立了Takagi-Sugeno (T-S)模糊模型, 并设计控制器保证了系统的稳定.实际的桥式起重机往往存在较为严重的输入时滞问题[24], 目前大部分运送过程依然采用人工操作或简单的PID控制, 针对桥式起重机的输入时滞问题的研究依然较少.

    为了解决上述问题, 本文根据欠驱动非线性系统的特性, 设计了一种跟踪控制器, 并利用Lyapunov-Krasovskii方程证明了系统的稳定性.使系统在存在输入时滞的情况下, 位置跟踪误差在有限时间内收敛到一个界内, 同时证明了摆角的一致有界性.完成控制器设计后, 通过仿真与实验, 将本文设计方法与工业起重机中常用的PID控制算法进行对比, 验证了本文所设计方法的有效性.

    • 带有输入时滞的二维桥式起重机模型可以表示为如下形式:

      $$ \begin{eqnarray} \label{model} {M}({\pmb q})\ddot{{\pmb q}}+{V_{m}}({\pmb q}, \dot{\pmb q}) \dot{\pmb q}+{\pmb G}({\pmb q})={\pmb u}({{t-\tau}})+{\pmb d}({t}) \end{eqnarray} $$ (1)

      其中${\pmb q}({ t})=[x \quad \theta]^{\rm T}$表示系统状态, ${\pmb u}({t-\tau})=[f(t-\tau) \quad 0]^{\rm T}$为系统的控制量, $\tau\in{{\bf R}^+}$是恒定的延迟时间, 且对于任意$y\in{[0, \tau]}$, ${\pmb u}({t-y})$是可测的, ${ M}({\pmb q})\in{{\bf R}^{{ 2}{ \times}{ 2}}}$为惯量矩阵, ${\pmb d}({t})=[d \quad 0]^{\rm T}$为外部扰动, 且满足:

      $$ \begin{eqnarray} \left\|{{\pmb d}({t})}\right\|, \left\|{\dot{\pmb d}}(t)\right\|\in{{ L}_{ \infty}}\notag \end{eqnarray} $$

      ${ V}_{ m}({\pmb q}, \dot{{\pmb q}})\in{{\bf R}^{{ 2}{ \times}{ 2}}}$表示向心–柯氏力矩阵, ${\pmb G}({\pmb q})\in{{\bf R}^{{ 2}{ \times}{ 1}}}$为重力矩阵, 矩阵的具体定义为:

      $$ \begin{eqnarray} { M}({\pmb q})= \left[ \begin{array}{cc} {m_x+m}&ml\cos\theta\nonumber\\ ml\cos\theta&ml^2 \end{array} \right] \\ { V}_{ m}({\pmb q}, \dot{{\pmb q}})= \left[ \begin{array}{cc} 0&-ml\sin\theta\dot\theta\nonumber\\ 0&0 \end{array} \right] \\ {\pmb G}({\pmb q})= \left[ \begin{array}{cc} 0&mgl\sin\theta\nonumber \end{array} \right]^{\rm T} \end{eqnarray} $$

      其中, $m_x$以及$m$分别代表小车的质量以及负载的质量, $l$为绳长.

    • 为了完成跟踪控制器的设计, 定义系统实际状态与期望状态之间的偏差${\pmb e}(t)\in{{\bf R}^{{ 2}{ \times}{ 1}}}$为:

      $$ \begin{eqnarray} \label{qd} {\pmb e}(t)={\pmb q}_{\pmb d}(t)-{\pmb q}(t) \end{eqnarray} $$ (2)

      其中, ${\pmb q}_{\pmb d}(t)=[x_d\quad0]^{\rm T}$, 且$\dot{{\pmb q}}_{\pmb d}$, $\ddot{{\pmb q}}_{\pmb d}$可以表示为:

      $$ \begin{eqnarray} \label{qdd} \dot{{\pmb q}}_{\pmb d}=[\dot{x}_d \quad 0]^{\rm T}, \ddot{{\pmb q}}_{\pmb d}=[\ddot{x}_d \quad 0]^{\rm T} \end{eqnarray} $$ (3)

      为了便于控制器设计, 定义辅助系统:

      $$ \begin{eqnarray} \label{rt} {\pmb r}(t)=\dot{{\pmb e}}+\delta{{{\tanh}}({\pmb e})}-{ M}^{-1}({\pmb q}){{\pmb u}_{\pmb p}} \end{eqnarray} $$ (4)

      其中,

      $$ \begin{eqnarray} {{\pmb u}_{\pmb p}}= \left[ \begin{array}{cc} \int_{t-\tau}^{t}f(y){\rm d}y& 0 \end{array} \right]\notag \end{eqnarray} $$

      其中, ${\pmb r}(t)=[r_x \quad r_{\theta}]^{\rm T}\in{{\bf R}^{{ 2}{ \times}{ 1}}}$为辅助信号, 对式(4)进行整理, 得到:

      $$ \begin{align} &r_x=\dot{e}_x+\delta{\tanh(e_x)}-M_{invx}\int_{t-\tau}^{t}f(y){\rm d}y \notag\\ \label{rtheta} &r_\theta=\dot{e}_\theta+\delta{\tanh(e_\theta)}+M_{inv\theta}\int_{t-\tau}^{t}f(y){\rm d}y \end{align} $$ (5)

      其中,

      $$ \begin{align} M_{invx}=&\frac{1}{m_x+m\sin^2{\theta}} \nonumber\\ M_{inv\theta}=&\frac{\cos\theta}{{m_x}l+ml\sin^2{\theta}}\nonumber \end{align} $$

      式(4)两边同乘以${ M}({\pmb q})$并关于时间求导, 得到:

      $$ \begin{align} { M}\dot{{\pmb r}}=&-\dot{{ M}}{\pmb r}+{ M}\ddot{{\pmb q}}_{\pmb d}-{ M}\ddot{{\pmb q}}+\delta\dot{{ M}}{{\tanh}}({\pmb e})+\dot{{ M}}\dot{{\pmb e}}+\nonumber\\ \label{rdot} &\delta{{\pmb M}}{{\cosh}}^{-2}({\pmb e})\dot{{\pmb e}}-({\pmb u}(t)-{\pmb u}(t-\tau)) \end{align} $$ (6)

      将式(1)代入式(6), 得到:

      $$ \begin{align} { M}\dot{{\pmb r}}=&-\dot{{ M}}{\pmb r}+{ M}\ddot{{\pmb q}}_{\pmb d}+{ V}_{ m}\dot{{\pmb q}}+\dot{{ M}}\dot{{\pmb e}}-{\pmb d}(t)+{\pmb G}+\nonumber\\ \label{rrdot} &\delta\dot{{ M}}{{\tanh}}({\pmb e})+\delta{{ M}}{{\cosh}}^{-2}({\pmb e})\dot{{\pmb e}}-{\pmb u}(t) \end{align} $$ (7)

      将式(2)和(3)代入式(7), 得到:

      $$ \begin{eqnarray} \label{mrdot} { M}\dot{{\pmb r}}=-\frac{1}{2}\dot{{ M}}{\pmb r}+{\pmb N}+{ \Gamma}{{\pmb r}}-{\pmb d}(t)-{\pmb u}(t) \end{eqnarray} $$ (8)

      其中,

      $$ \begin{align*} {\pmb N}=&-\frac{1}{2}\dot{{ M}}{\pmb r}+{ M}\ddot{{\pmb q}}_{\pmb d}+{ V}_{ m}\dot{{\pmb q}}+{\pmb G}-{ \Gamma}{\pmb r}+\nonumber\\ &\dot{ M}\dot{\pmb e}+\delta\dot{ M}{{\tanh}}({\pmb e})+\delta{ M}{{\cosh}}^{-2}({\pmb e})\dot{\pmb e}\nonumber \end{align*} $$
      $$ \begin{eqnarray} { \Gamma}= \left[ \begin{array}{cc} \Gamma_{11}&{\Gamma_{12}}\\ \Gamma_{21}&{\Gamma_{22}} \end{array} \right]\nonumber \end{eqnarray} $$

      $\Gamma_{11}$、$\Gamma_{12}$、$\Gamma_{21}$、$\Gamma_{22}$可以表示为:

      $$ \begin{align*} &\Gamma_{11}=\\&-\frac{(m_x+m+m\cos^2\theta)ml\sin\theta\dot\theta-2m^3\cos\theta}{2(m_x+m\sin^2\theta)}\nonumber\\ &\Gamma_{12}=\\&-\frac{(m_x+m+m\cos^2\theta)ml^2\sin\theta\dot\theta+2m^2\cos\theta}{2l(m_x+m\sin^2\theta)}\nonumber\\ &\Gamma_{21}=-\frac{(m_x+m)ml\sin\theta\cos^2\theta\dot\theta-m^2\cos\theta}{l\cos\theta(m_x+m\sin^2\theta)}\nonumber\\ &\Gamma_{22}=-\frac{m^2l^2\sin\theta\cos\theta\dot\theta+m}{m_x+m\sin^2\theta}\nonumber \end{align*} $$

      在实际工作场景, 起重机带载质量有最大值, 且不带载时, 吊钩质量不可忽略, 故$m$具有上界及下界.绳长最长不超过卷筒到地面的距离, 最短不小于限位装置所在的位置, 故$l$具有上界以及下界, 小车质量$m_x$为恒定值, 摆角$\theta$的变化范围在$-90^\circ$到$90^\circ$之间, 设$m$、$l$、$\theta$都有界:

      $$ \underline{m}<m<\overline{m}\nonumber, \underline{l}<l<\overline{l}, -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}\nonumber $$

      则${ M}({\pmb q})$、${\dot{ M}}({\pmb q}, \dot{{\pmb q}})$、${{ V}_{ m}}({\pmb q}, \dot{{\pmb q}})$、${ \Gamma}({\pmb q}, \dot{{\pmb q}})$均满足条件:

      $$ \begin{eqnarray} \frac{{ \partial}{{ M}}}{{ \partial}{{\pmb q}}}, \frac{{ \partial}{ M}}{{ \partial}{\dot{{\pmb q}}}}, \frac{{ \partial}{\dot{ M}}}{{ \partial}{{\pmb q}}}, \frac{{ \partial}{\dot{ M}}}{{ \partial}{\dot{{\pmb q}}}}\in{{ L}_{{ \infty}}}, &\mbox{若}{{\pmb q}, \dot{{\pmb q}}}\in{{ L}_{{ \infty}}}\nonumber\\ \frac{{ \partial}{{ V}_{ m}}}{{ \partial}{{\pmb q}}}, \frac{{ \partial}{{ V}_{ m}}}{{ \partial}{\dot{{\pmb q}}}}, \frac{{ \partial}{{ \Gamma}}}{{ \partial}{{\pmb q}}}, \frac{{ \partial}{{ \Gamma}}}{{ \partial}{\dot{{\pmb q}}}}\in{{ L}_{{ \infty}}}, &\mbox{若}{{\pmb q}, \dot{{\pmb q}}}\in{{ L}_{{ \infty}}}\nonumber \end{eqnarray} $$

      定义如下辅助信号:

      $$ \begin{align*} {\pmb N}_{\pmb d}=&{ M}({\pmb q}_{\pmb d})\ddot{{\pmb q}}_{\pmb d}+\dot{{ M}}({\pmb q}_{\pmb d})\dot{{\pmb q}}_{\pmb d}+{ V}_{ m}({\pmb q}_{\pmb d}, \dot{{\pmb q}}_{\pmb d})\dot{{\pmb q}}+\nonumber\\ &{\pmb G}({\pmb q}_{\pmb d})+{ \Gamma}({{\pmb q}_{\pmb d}}, \dot{{\pmb q}}_{\pmb d}){\pmb r} \end{align*} $$

      若有:

      $$ \begin{eqnarray} {\pmb q}_{\pmb d}(t), {\pmb q}_{\pmb d}^{(i)}(t)\in{{ L}_{ \infty}}, ~~i=1, 2, 3\notag \end{eqnarray} $$

      则:

      $$ \begin{eqnarray} \left\|{{\pmb N}_{\pmb d}}\right\|\in{{ L}_{ \infty}} \notag \end{eqnarray} $$

      定义:

      $$ \begin{eqnarray} {\pmb S}={\pmb N_{\pmb d}}-{\pmb d}\notag \end{eqnarray} $$

      由于外部扰动$\left\|{\pmb d}(t)\right\|\in{{ L}_{ \infty}}$, 故有:

      $$ \begin{eqnarray} \left\|{{\pmb S}}\right\|\leq{s}\notag \end{eqnarray} $$

      定义:

      $$ \begin{eqnarray} {\widetilde{\pmb N}}={\pmb N}-{\pmb N}_{\pmb d} \notag \end{eqnarray} $$

      根据文献[25]中的附录A, 可得到:

      $$ \begin{eqnarray} \left\|{{\widetilde{\pmb N}}}\right\|\leq\rho\left\|{{\pmb z}}\right\| \notag \end{eqnarray} $$

      其中,

      $$ \begin{eqnarray} {\pmb z}=[{\pmb e}^{\rm T}\quad {\pmb r}^{\rm T}\quad { {\tanh}}^{\rm T}({\pmb e})\quad \sqrt{P}]^{\rm T}\notag \end{eqnarray} $$

      $P(t)\in{\bf R}$是Lyapunov-Krasovskii (LK)方程的解, 定义为:

      $$ \begin{eqnarray} P=\frac{1}{\tau}\int_{t-\tau}^t(\int_s^t{\left\|{f(y)}\right\|}^2{\rm d}y){\rm d}s\notag \end{eqnarray} $$

      对$P$关于时间求导, 可以得到:

      $$ \begin{eqnarray} \label{dotp} \dot{P}={\left\|{f(y)}\right\|}^2-\frac{1}{\tau}\int_{t-\tau}^t{\left\|{f(y)}\right\|}^2{\rm d}y \end{eqnarray} $$ (9)

      式(8)经过数学处理, 可拆分为:

      $$ \begin{equation} \begin{cases}M_{rx}\dot{r}_x={\Psi_{rx}}+{\Xi}_{ x} ({{\widetilde{\pmb N}}}+{\pmb S})-lf(t)\\ \label{chaifen} M_{r\theta}\dot{r}_\theta={\Psi_{r\theta}}+{ \pmb \Xi}_{ \theta}({{\widetilde{\pmb N}}}+{\pmb S})-ml\cos\theta{f(t)}\end{cases} \end{equation} $$ (10)

      其中,

      $$ \begin{align*} &M_{rx}=(m_x+m)l-ml\cos^2\theta\notag\\ &M_{r\theta}=(m_x+m)ml^2-m^2l^2\cos^2\theta \notag\\ &\Psi_{rx}=-ml\sin\theta\cos\theta\dot\theta{r_x}-m^2r_x\notag\\ &\Psi_{r\theta}=-m^2l^2\sin\theta\cos\theta\dot\theta{r_\theta}-m^2r_\theta \notag\\ &{\pmb \Xi}_{x}=[l \quad -\cos\theta]\notag\\ &{\pmb \Xi}_{\theta}=[-ml\cos\theta \quad m_x+m]\notag \end{align*} $$

      为了使系统的跟踪误差以及负载摆角在有限时间内收敛到一个界内, 设计控制器:

      $$ \begin{align} \label{controller} f=\, &\frac{1}{l}(k_1\tanh(e_x)+k_2 \tanh(e_\theta)-\notag\\ &k_3r_x+k_3m\cos\theta{r_\theta}) \end{align} $$ (11)

      其中, $k_1$、$k_2$、$k_3$为控制增益, 且满足$k_1$、$k_2$、$k_3\in{{\bf R}^+}$.

    • 为了完成稳定性证明, 定义非负李雅普诺夫方程:

      $$ \begin{align} V=&\ln(\cosh(e_x))+\ln(\cosh(e_\theta))+\notag \\ \label{lyapunov} &\frac{1}{2}M_{rx}r_x^2+\frac{1}{2}M_{r\theta}r_\theta^2+P \end{align} $$ (12)

      式(12)对时间进行求导, 得到:

      $$ \begin{align} \dot{V}=&\tanh(e_x)\dot{e}_x+\tanh(e_\theta)\dot{e}_\theta+\frac{1}{2}\dot{M}_{rx}{r_x}^2+\notag\\ \label{dotlyapunov}&M_{rx}r_x\dot{r}_x+\frac{1}{2}\dot{M}_{r\theta}{r_\theta}^2+M_{r\theta}r_\theta\dot{r}_\theta+\dot{P} \end{align} $$ (13)

      将式(5)、(9)、(10)和(11)代入式(13), 得到:

      $$ \begin{align} \dot{V}=\, &{\pmb r}^{\rm T}{ \Lambda}_{ 2}{\pmb r}+{\pmb M}_{\pmb {inv}}{{\tanh}}({\pmb e})\int_{t-\tau}^{t}f(y){\rm d}y-\notag\\ &{\sigma}{{{\tanh}}^{\rm T}({\pmb e})}{{\tanh}}({\pmb e})-{{\tanh}}^{\rm T}({\pmb e}){ \Lambda}_{ 1}{\pmb r}+\notag\\ &{{\widetilde{\pmb N}}}{ \Xi}{\pmb r}+\frac{1}{l^2}\left\|{{\pmb \Lambda}_{3}{{\tanh}}({\pmb e})+{\pmb \Lambda}_{4}{\pmb r}}\right\|^2+\notag\\ &{\pmb S}^{\rm T}{\Xi}{\pmb r}-\frac{1}{\tau}\int_{t-\tau}^t{\left\|{f(y)}\right\|}^2{\rm d}y\notag \end{align} $$

      其中,

      $$ \begin{eqnarray} { \Lambda}_{ 1}= \left[ \begin{array}{cc} k_1-1&k_2\notag\\ k_1m\cos\theta&k_2m\cos\theta-1 \end{array} \right] \end{eqnarray} $$
      $$ \begin{eqnarray} { \Lambda}_{ 2}= \left[ \begin{array}{cc} k_3+m^2&k_3m\cos\theta\notag\\ k_3m\cos\theta&k_3m^2\cos^2\theta+m^2 \end{array} \right] \end{eqnarray} $$
      $$ \begin{eqnarray} {\pmb M}_{\pmb {inv}}= \left[ \begin{array}{cc} M_{invx}\notag&M_{inv\theta} \end{array} \right] \end{eqnarray} $$
      $$ \begin{eqnarray} { \Xi}= \left[ \begin{array}{cc} l&-ml\cos\theta\notag\\ -\cos\theta&m_x+m \end{array} \right] \end{eqnarray} $$
      $$ \begin{eqnarray} {\pmb \Lambda}_{3}= \left[ \begin{array}{cc} k_1&k_2\notag \end{array} \right] \end{eqnarray} $$
      $$ \begin{eqnarray} {\pmb \Lambda}_{4}= \left[ \begin{array}{cc} k_3&k_3m\cos\theta\notag \end{array} \right] \end{eqnarray} $$

      将$-{\pmb r}^{\rm T}{ \Lambda}_{ 2}{\pmb r}$展开, 并进行数学处理, 得到:

      $$ \begin{align} -{\pmb r}^{\rm T}{ \Lambda}_{ 2}{\pmb r}=&-k_3(m\cos\theta{r_\theta}+r_x)^2-\notag\\ &m^2r_x^2-m^2r_\theta^2\notag \end{align} $$

      故有:

      $$ \begin{eqnarray} -{\pmb r}^{\rm T}{ \Lambda}_{ 2}{\pmb r}\leq {\pmb r}^{\rm T}{ \Lambda}_{ 5}{\pmb r} \notag \end{eqnarray} $$

      其中,

      $$ \begin{eqnarray} { \Lambda}_{ 5}= \left[ \begin{array}{cc} m^2&0\\ 0&m^2 \end{array} \right]\notag \end{eqnarray} $$

      根据矩阵${ \Lambda}_{ 1}$、${\pmb \Lambda}_{3}$、${\pmb \Lambda}_{4}$、${\pmb M}_{\pmb {inv}}$、${ \Xi}$的定义可知:

      $$ \begin{align} &\left\|{ \Lambda}_{ 1}\right\|\leq{B_1}, \left\|{\pmb \Lambda}_{3}\right\|\leq{B_3}, \left\|{\pmb \Lambda}_{4}\right\|\leq{B_4}\notag\\ &\left\|{\pmb M}_{\pmb {inv}}\right\|\leq{B_5}, \left\|{{ \Xi}}\right\|\leq{B_6} \notag \end{align} $$

      定义:

      $$ \begin{eqnarray} \sqrt{2}m^2=b_1+b_2+b_3 \notag \end{eqnarray} $$

      其中, $b_1$、$b_2$、$b_3$的取值范围将在式(20)中给出, 故$\dot{V}(t)$具有上界:

      $$ \begin{align} \label{dotV1} \dot{V}\leq&-\sigma\left\|{{{\tanh}}({\pmb e})}\right\|^2-\sqrt{2}m^2\left\|{{\pmb r}}\right\|+B_6s\left\|{{\pmb r}}\right\|+\notag\\ &\frac{1}{l^2}B_3^2\left\|{{{\tanh}}({\pmb e})}\right\|^2+B_1\left\|{{\pmb r}}\right\|\left\|{{{\tanh}}({\pmb e})}\right\|+\notag\\ &\frac{2}{l^2}B_3B_4\left\|{{\pmb r}}\right\|\left\|{{{\tanh}}({\pmb e})}\right\|+\frac{1}{l^2}B_4^2\left\|{{\pmb r}}\right\|^2-\notag\\ &\frac{1}{\tau}\int_{t-\tau}^{t}\left\|f(y)\right\|^2{\rm d}y+B_6\rho\left\|{{\pmb z}}\right\|\left\|{{\pmb r}}\right\|+\notag\\ &B_5\left\|{{{\tanh}}({\pmb e})}\right\|\left\|{{\pmb M}_{\pmb {inv}}\int_{t-\tau}^{t}f(y){\rm d}y}\right\| \end{align} $$ (14)

      利用杨氏不等式(Young's inequality), 可得关系式:

      $$ \begin{align} \label{young} &B_5\left\|{{{\tanh}}({\pmb e})}\right\|\left\|{{\pmb M}_{\pmb {inv}}\int_{t-\tau}^{t}f(y){\rm d}y}\right\| \leq\notag\\ &\quad \frac{B_5^2\tau^2}{4}\left\|{{{\tanh}}({\pmb e})}\right\|^2+\frac{1}{\tau^2}\left\|\int_{t-\tau}^{t}f(y){\rm d}y\right\|^2 \end{align} $$ (15)

      使用柯西–施瓦茨不等式(Cauchy-Schwarz inequality), 得到下面的关系式:

      $$ \begin{eqnarray} \label{schwarz} \frac{1}{\tau^2}\left\|\int_{t-\tau}^{t}f(y){\rm d}y\right\|^2\leq\frac{1}{\tau}\int_{t-\tau}^{t}\left\|f(y)\right\|^2{\rm d}y \end{eqnarray} $$ (16)

      将式(15)和(16)代入式(14), 并进一步化简, 得到:

      $$ \begin{align} \dot{V}\leq&-\Big(\sigma-B_1^2-\frac{B_5^2\tau^2}{4}-\frac{B_3^2}{l^2}-\notag\\ &\frac{k_3^2B_3^2B_4^2}{l^4}\Big)\left\|{{{\tanh}}({\pmb e})}\right\|^2+\frac{\rho^2B_6^2}{4b_2}\left\|{{\pmb z}}\right\|^2-\notag\\ &\left(b_1-\frac{5}{4}-\frac{B_4^2}{l^2}\right)\left\|{{\pmb r}}\right\|^2+\frac{s^2B_6^2}{4b_3}\notag \end{align} $$

      则$\dot{V}(t)$的上界可写成:

      $$ \begin{eqnarray} \label{dotV2} \dot{V}\leq-\varepsilon\left\|{{\pmb z}}\right\|^2+\frac{\rho^2B_6^2}{4b_2}\left\|{{\pmb z}}\right\|^2+\frac{s^2B_6^2}{4b_3} \end{eqnarray} $$ (17)

      其中, $\varepsilon\in{\bf R}$定义为:

      $$ \begin{align} \varepsilon={\rm min}\Bigg\{&\sigma-B_1^2-\frac{B_5^2\tau^2}{4}-\frac{B_3^2}{l^2}-\frac{k_3^2B_3^2B_4^2}{l^4}, \notag\\ &b_1-\frac{5}{4}-\frac{B_4^2}{l^2}\Bigg\}\notag \end{align} $$

      为了证明系统可以在有限时间内收敛于一个界内, 定义:

      $$ \begin{eqnarray} \label{phi} \phi\left(\left\|{\pmb z}\right\|\right) =\left(\varepsilon- \frac{\rho^2B_6^2}{4b_2}\right){{\tanh}}\left\|{\pmb z}\right\|^2 \end{eqnarray} $$ (18)

      定义${{\tanh}}({\pmb \xi}), {{\cosh}}({\pmb \xi})$:

      $$ \begin{align} &{{\tanh}}({\pmb \xi})=[\tanh(\xi_1), \tanh(\xi_2), \cdots, \tanh(\xi_n)]^{\rm T} \notag\\ &{{\cosh}}({\pmb \xi})={ {\rm diag}}\{\cosh(\xi_1), \cosh(\xi_2), \cdots, \cosh(\xi_n)\}^{\rm T} \notag \end{align} $$

      根据文献[26], 可得到结论:

      $$ \begin{eqnarray} \left\|{\pmb \xi}\right\|^2\geq\sum\limits_{i=1}^n{\ln({\cosh}(\xi_i))}\geq{\frac{1}{2}{{{\tanh}}^2(\left\|{{\pmb z}}\right\|)}}\notag \end{eqnarray} $$
      $$ \begin{eqnarray} \label{lem} \left\|{\pmb \xi}\right\|\geq\left\|{{{\tanh}}({\pmb \xi})}\right\|, \left\|{\tanh}(\pmb \xi)\right\|^2\geq{{{\tanh}}^2(\left\|{{\pmb z}}\right\|)} \end{eqnarray} $$ (19)

      综合式(17)$\, \sim\, $(19), 可得:

      $$ \begin{eqnarray} \dot{V}\leq-\phi(\left\|{\pmb z}\right\|)^2+\frac{s^2B_6^2}{4b_3}\notag \end{eqnarray} $$

      根据式(12), 可以得到:

      $$ \begin{align} n_1(\left\|{\pmb z}\right\|)\leq{V}\leq{n_2(\left\|{\pmb z}\right\|)}\notag \end{align} $$

      其中,

      $$ \begin{align} n_1(\left\|{\pmb z}\right\|)=\, &\varepsilon_1\ln({\cosh}(\left\|{\pmb z}\right\|))\notag\\ {n_2(\left\|{\pmb z}\right\|)}=\, &\varepsilon_2\left\|{\pmb z}\right\|^2\notag \end{align} $$

      且$n_1(\left\|{\pmb z}\right\|)$, $n_2(\left\|{\pmb z}\right\|)$, $\phi(\left\|{\pmb z}\right\|)$满足条件:

      $$ \begin{align} &n_1(0)=0, n_2(0)=0, \phi(0)=0 \notag\\ &\lim\limits_{\left\|{\pmb z}\right\|\rightarrow\infty}n_1(\left\|{\pmb z}\right\|)=\infty\notag\\ &\lim\limits_{\left\|{\pmb z}\right\|\rightarrow\infty}n_2(\left\|{\pmb z}\right\|)=\infty\notag\\ &\lim\limits_{\left\|{\pmb z}\right\|\rightarrow\infty}\phi(\left\|{\pmb z}\right\|)=a<\infty\notag \end{align} $$

      其中, $a>0$且为常数.

      经验证, 选取合适控制增益$\delta$、$k_1$、$k_2$、$k_3$, 可满足条件:

      $$ \begin{align} \begin{cases} \sigma\geq B_1^2+\dfrac{B_5^2\tau^2}{4}+\dfrac{B_3^2}{l^2}+ \dfrac{k_3^2B_3^2B_4^2}{l^4}\\[3mm] \label{gain} b_1\geq \dfrac{5}{4}+\dfrac{B_4^2}{l^2} \end{cases}\end{align} $$ (20)

      若在选取控制增益时满足式(20)中的条件, 由文献[27]可得结论:

      $$ \begin{eqnarray} \left\|{{\pmb e}(t)}\right\|\leq\left\|{{\pmb z}(t)}\right\|\leq\lambda, t\geq{T(\lambda, \left\|{\pmb z}(0)\right\|)}\notag \end{eqnarray} $$

      其中, $\lambda$代表收敛域的半径:

      $$ \begin{eqnarray} \lambda>(n_1^{-1}\circ{n_2})\phi^{-1}\left(\frac{s^2B_6^2}{4b_3}\right)\notag \end{eqnarray} $$

      $T$则代表有限的时间, 定义为:

      $$ \begin{eqnarray} T=\left\{\begin{aligned} &0, &\!\!\!\left\|{{\pmb z}(0)}\right\|\leq\lambda_1\notag\\ &\frac{n_2(\left\|{{\pmb z} (0)}\right\|)-n_1((n_2^{-1}\circ{n_1})\lambda)}{\phi(n_2^{-1}\circ{n_1})(\lambda)-\frac{s^2B_6^2}{4b_3}}, &\!\!\! \left\|{\pmb z}(0)\right\| > \lambda_1\notag \end{aligned}\right.\ \end{eqnarray} $$

      其中,

      $$ \begin{eqnarray} \lambda_1=(n_2^{-1}\circ{n_1})(\lambda)\notag \end{eqnarray} $$
    • 在验证本文所设计的控制算法之前, 我们首先考查输入时滞对工业现场常用的PID控制算法的影响.考虑实际工业场景, 仿真过程中选取小车质量, 负载质量, 绳长如下:

      $$ \begin{eqnarray} m_x=500\, {\rm kg}, m=100\, {\rm kg}, l=5\, {\rm m}\notag \end{eqnarray} $$

      设定跟踪轨迹:

      $$ \begin{align} \dot{x}_d=\, &0.15\Big[\tanh \left(\frac{2}{3}t-2.5\right)-\nonumber\\&\tanh\left(\frac{2}{3}t-29.2\right)\Big]\notag \end{align} $$

      若系统输入信号没有延时, PID控制算法的控制效果如图 1(a)所示.当控制输入存在延时$\tau=500\, \rm ms$时, 重新调节控制增益, 其控制效果如图 1(b)所示, 可见输入时滞对系统的控制性能存在较大影响.

      图  1  输入时滞对PID控制的影响

      Figure 1.  The influences of the input-delay to a PID controller

      在系统参数以及信号延迟时间不变的情况下, 采用本文所设计的控制器, 设定控制增益为:

      $$ \begin{eqnarray} k_1=110, k_2=50, k_3=200, \sigma=400\notag \end{eqnarray} $$

      仿真结果如图 2所示, 可见与PID控制相比, 本文所设计的鲁棒控制器尽管收敛速度较慢, 但跟踪给定轨迹的能力较强, 且摆角比PID控制算法能更快收敛到较小的界内.调整PID控制器的增益, 使其快速跟踪给定轨迹, 其控制效果如图 3所示.若继续增大PID控制增益, 虽能更好地跟踪给定轨迹, 但会出现发散的现象.

      图  2  存在输入时滞的鲁棒控制

      Figure 2.  Robust control with input-delay

      图  3  快速跟踪给定轨迹的PID控制

      Figure 3.  PID control with fast tracking speed

      工业现场运送货物过程中, 货物质量以及绳长通常有较大的变化, 在不改变PID增益的情况下, 仅改变货物的质量, 经仿真得到的结果如图 4所示.

      图  4  不同负载质量下PID控制器控制效果

      Figure 4.  The performance of PID controller with different payload mass

      图 4(a)为PID算法跟踪给定的参考轨迹$x_d$的效果, 图 4(b)为对应的负载摆动情况.由仿真结果可知, PID算法尽管可使台车位置收敛于目标位置附近, 但跟踪效果较差.我们采用本文所设计的控制算法, 控制增益保持为$k_1=110$, $k_2=50$, $k_3=200$, $\sigma=400$, 分别测试负载质量为$500\, \rm kg$, $300\, \rm kg$以及$100\, \rm kg$时的控制效果.

      不同负载质量下的鲁棒控制仿真结果如图 5所示, 其中, 图 5(a)表示跟踪给定轨迹的位置随时间的变化情况, 图 5(b)表示摆角随时间的变化趋势.仿真结果表明, 针对模型参数的变化, 控制器具有较好的鲁棒性, 与PID算法相比, 在摆角变化幅度近似时, 跟踪性能具有较大的提升.

      图  5  不同负载质量下鲁棒控制器控制效果

      Figure 5.  The performance of robust controller with different payload mass

      接下来我们通过实验验证本文设计的控制算法的控制效果, 实验室小型模拟平台具体参数为:

      $$ \begin{eqnarray} m=1\, {\rm kg}, m_x=5\, {\rm kg}, l=0.75\, {\rm m}\notag \end{eqnarray} $$

      设定$\tau=500$ ms, 在进行实验之前, 我们将系统参数代入仿真环境, 并调整控制增益, 其控制效果如图 6所示, 由仿真结果可见, 其控制效果优于负载及小车质量较重的情况.

      图  6  依据实验平台参数的仿真结果

      Figure 6.  Simulation results of the controller with the platform parameters

      将本文所设计算法应用于实验室小型模拟平台, 由于实验平台可运行长度有限, 我们将参考轨迹更改为:

      $$ \begin{eqnarray} \dot{x}_{dplat}=0.1\left[\tanh(t-1)-\tanh(t-3)\right]\notag \end{eqnarray} $$

      调整控制增益, 令:

      $$ \begin{eqnarray} k_1=0.8, k_2=1.2, k_3=5, \sigma=3\notag \end{eqnarray} $$

      由于模拟实验平台不存在时滞问题, 我们通过控制程序令输入信号滞后$500 \, \rm ms$, 经实验测试, 本文设计的鲁棒控制器的跟踪效果如图 7(a)所示, PID控制器的跟踪效果如图 7(b)所示.由图可看出, 本文设计的控制算法可以使跟踪误差以及摆角误差收敛到一个比较小的界内, 相比而言, PID算法的跟踪误差达到了$0.12\, \rm m$, 本文所设计的控制算法的跟踪误差仅为$0.03\, \rm m$, PID算法只能将摆角抑制在$4^{\circ}$之内, 本文所设计的算法可将摆角抑制在$2^{\circ}$之内.

      图  7  PID控制器与鲁棒控制器的实验效果对比

      Figure 7.  Comparison of the experiment results between the PID controller and the robust controller

      我们将负载质量增加到$m=2\, \rm kg$, 其他参数不变, 将跟踪效果以及抑制摆动的效果与PID控制算法进行比较, 对比结果如图 8所示, 可见在系统参数出现变化的情况下, 尽管鲁棒控制器的跟踪效果变差, 但其到达目标位置后的稳定性以及对摆角的抑制效果依然优于PID控制方法.

      图  8  改变负载质量时的控制效果

      Figure 8.  The performance of the controller when changing the payload mass

    • 本文考虑工业桥式起重机输入信号存在时滞的情况, 通过引入辅助信号, 将输入时滞模型等效为无时滞的系统, 并基于鲁棒控制的思想设计了一种跟踪控制器.在稳定性证明过程中本文引入Lyapunov-Krasovskii方程, 最终证明了系统状态的一致有界性.控制器使系统在存在输入时滞的情况下, 令位置跟踪误差在有限时间内收敛到一个界内, 同时证明了摆角误差的一致有界性, 且界的大小与控制增益成反相关关系.完成控制器设计后, 与工业起重机中常用的PID控制算法进行对比, 仿真及实验结果验证了本文所设计方法良好的控制性能.

参考文献 (27)

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